已知函数f=lnx+cosx．判断函数f的单调性，并求函数f的值域；证明方程f=x-π在[π，2π]上必

题文

已知函数f（x）=lnx+cosx（x∈[π，2π]）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）的值域；
（2）证明方程f（x）=x-π在[π，2π]上必有一根． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）[π，2π]内，f₁（x）=lnx是增函数，f₂（x）=cosx也是增函数，…（2分）
∴f（x）=lnx+cosx在[π，2π]内是增函数．…（3分）
∴fmin(x)=f(π)=lnπ-1=lnπe，f_max（x）=f（2π）=ln2π+1=ln2πe，…（5分）
∴函数f（x）的值域是[lnπe，ln2πe]．…（6分）
（2）设g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，…（8分）
由g（π）=lnπ-1＞lne-1=0，g（2π）=ln2π+1-π＜lne²+1-π=3-π＜0，…（12分）
∵g（π）•g（2π）＜0，…（13分）
∴方程f（x）=x-π在[π，2π]必有一根．…（14分）

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解析

πe

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lnx+cosx（x∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点