已知向量a=(sinx，32)，b=．当a∥b时，求cos2x-sin2x的值；设x1，x2为函数f(x)=-24+(a+b)•b

题文

已知向量a=(sinx，32)，b=（cosx，-1）．
（1）当a∥b时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设x₁，x₂为函数f(x)=-24+(a+ b)• b的两个零点，求|x₁-x₂|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由a∥b得：32cosx+sinx=0，
若cosx=0，则sinx=±1，不合题意．
则tanx=-32．
因此cos2x-sin2x=cos2x-2sinxcosxsin2x+cos2x=1-2tanxtan2x+1=1613．
（2）f(x)=-24+(a+b)•b=(sinx+cosx，12)•(cosx，-1)-24=(sinx+cosx)cosx-12-24=12sin2x+12cos2x-24=22sin(2x+π4)-24．
依题得sin(2x+π4)=12，
解得x=k1π-π24或x=k2π+7π24，k₁，k₂∈Z．
又|x₁-x₂|=|k2π+7π24-k1π+π24|≥π3，
所以|x₁-x₂|的最小值为π3．

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=(sinx，32)，b=（c.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点