已知f=acos2x+2cosx-3当a=1时，求函数y=f的值域；若函数y=f存在零点，求a的取值范围．

题文

已知f（x）=acos2x+2cosx-3
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数y=f（x）存在零点，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由已知可得：f（x）=acos2x+2cosx-3=2acos²x+2cosx-（3+a）．
（Ⅰ）当a=1时，f（x）=2cos²x+2cosx-4=2（cosx+12）²-92
由-1≤cosx≤1，得函数y=f（x）的值域为[-92，0]
（Ⅱ）函数y=f（x）存在零点，即2at²+2t-（3+a）=0在[-1，1]上有解．
（1）a=0时，方程的解t=32∉[-1，1]不满足条件
（2）当a≠时，设g（t）=2t2+2at-（3a+1）
则①当g（-1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5
②当g（-1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立
即g（-1）＞0，g（1）＞0，△≥0，-1≤-12a≤-1．
解得a＞5，或a≤-3-72
综上可得，a的取值范围为（-∞，-3-72）∪[1，+∞）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=acos2x+2cosx-.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点