已知y=f为R上的连续可导的函数，当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，则关于x的方程f(x)+1x=0的根的个数为A．0B．1C．2D．0或2

题文

已知y=f（x）为R上的连续可导的函数，当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，则关于x的方程f(x)+1x=0的根的个数为（ ）A．0B．1C．2D．0或2 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵当x≠0时，f′(x)+f(x)x＞0，
∴xf′(x)+f(x)x＞0
要求关于x的方程f(x)+1x=0的根的个数可转化成xf（x）+1=0的根的个数
令F（x）=xf（x）+1
当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0即F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0即F′（x）＜0，∴F（x）在（-∞，0）上单调递减
而y=f（x）为R上的连续可导的函数
∴xf（x）+1=0无实数根
故选A．

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解析

f(x)x

考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）为R上的连续可导的函数，.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点