方程sinx=x2009π的根的个数为______．

题文

方程sinx=x2009π的根的个数为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

令 y=x2009π，y=sinx，这两个方程的曲线交点的个数就是原方程实数解的个数．
由于直线 y=x2009π的斜率为 12009π，又-1≤sinx≤1，
所以仅当-2009π≤x≤2009π时，两图象有交点．
由函数y=sin的周期性，把闭区间[-2009π，2009π]分成
[-2009π，2（-1005+1）π，[2kπ，2（k+1）π]，[2×1004π，2009π]（k=-1004，-1003，…，-2，-1，0，1，2，…，1004），共1005个区间，
故实际交点有2010个．即原方程有2010个实数解．
故选C．

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解析

x2009π

考点

据考高分专家说，试题“方程sinx=x2009π的根的个数为_.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点