已知函数f=x3-3ax+b在x=1处有极小值2．求函数f的解析式；若函数g(x)=m3f′(x)-2x+3在[0，2]只有一个零点，求

题文

已知函数f（x）=x³-3ax+b在x=1处有极小值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数g(x)=m3f′(x)-2x+3在[0，2]只有一个零点，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）f'（x）=3x²-3a…（1分）
依题意有f′(1)=3-3a=0f(1)=1-3a+b=2，…（3分）
解得a=1b=4，…（4分）
此时f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
x∈（-1，1），f'（x）＜0，x∈（1，+∞），f'（x）＞0，满足f（x）在x=1处取极小值
∴f（x）=x³-3x+4…（5分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²-3
∴g(x)=m3f′(x)-2x+3=m3(3x2-3)-2x+3=mx2-2x-m+3…（6分）
当m=0时，g（x）=-2x+3，
∴g（x）在[0，2]上有一个零点x=32（符合），…（8分）
当m≠0时，
①若方程g（x）=0在[0，2]上有2个相等实根，即函数g（x）在[0，2]上有一个零点．
则△=4-4m(-m+3)=00≤1m≤2，得m=3+52…（10分）
②若g（x）有2个零点，1个在[0，2]内，另1个在[0，2]外，
则g（0）g（2）≤0，即（-m+3）（3m-1）≤0，解得m≤13，或m≥3…（12分）
经检验m=3有2个零点，不满足题意．
综上：m的取值范围是m≤13，或m=3+52，或m＞3…（14分）

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解析

f′(1)=3-3a=0f(1)=1-3a+b=2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-3ax+b在x=.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点