已知函数f=•ex．试确定t的取值范围，使得函数f在[-2，t]上为单调函数；当t＞-2时，判断f和f的

题文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（Ⅰ）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；
（3）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程：f′(x)ex=23(t-1)2在区间[-2，t]上总有两个不同的解． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x，
由f′（x）＞0⇒x＞1或x＜0，
由f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴函数f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
要使函数f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0，
（2））①若-2＜t≤0，则f（x）在[-2，t]上单调递增，∴f（t）＞f（-2）；
②若0＜t＜1，则f（x）在[-2，0]上单调递增，在[0，t]上单调递减
又f（-2）=13e^-2，f（1）=e，∴f（t）≥f（1）＞f（-2）；
③若t＞1，则f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减
∴f（t）＞f（1）＞f（-2），
   综上，f（t）＞f（-2）．
（3）证：∵f′(x0)ex0=x20-x0，∴f′(x0)ex0=23(t-1)2，即为x₀²-x₀=23(t-1)2，
令g（x）=x²-x-23(t-1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2-x-23(t-1)2=0在[-2，t]（1＜t＜4）上总有两个不同的解
因为g（-2）=6-23（t-1）²=-23(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-23(t-1)2=13(t+2)(t-1)，
所以当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-43(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，

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解析

f′(x0)ex0

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x2-3x+3）•e.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点