已知方程x=x13的解x∈，则正整数n=______．

题文

已知方程（12）^x=x13的解x∈（1n+1，1n），则正整数n=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

方程（12）^x=x13的解即函数f（x）=（12）^x-x13的零点
∵y=（12）^x为定义域上的减函数，y=-x13为定义域上的减函数
∴函数f（x）为定义域R上的单调减函数
又∵f（13）=(12)13-(13)13＞0，（考虑幂函数y=x13为R上的增函数）
f（12）=(12)12-(12)13＜0，（考虑指数函数y=（12）^x为R上的减函数）
即f（13）×f（12）＜0
∴函数f（x）=（12）^x-x13在区间（13，12）上有且只有一个零点
∴1n=12，即n=2
故答案为 n=2

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解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知方程（12）x=x13的解x∈（1n.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点