已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______．

题文

已知关于x的方程x³-ax²-2ax+a²-1=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a²-（x²+2x）a+x³-1=0，则△=（x²+2x）²-4（x³-1）=（x²+2）²，
∴a=x 2+2x±(x 2+2)2，即a=x-1或a=x²+x+1．
所以有：x=a+1或x²+x+1-a=0．
∵关于x³-ax²-2ax+a²-1=0只有一个实数根，
∴方程x²+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，
∴1-4（1-a）＜0，解得a＜34．
所以a的取值范围是a＜34．
故答案为：a＜34．

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解析

x 2+2x±(x 2+2)2

考点

据考高分专家说，试题“已知关于x的方程x3-ax2-2ax+a.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点