已知函数f=x2+ax+1，若∃θ∈(π4，π2)，f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a的取值范围为______．

题文

已知函数f（x）=x²+ax+1，若∃θ∈(π4，π2)，f(sinθ)=f(cosθ)，则实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

∵函数f（x）=x²+ax+1，∃θ∈(π4，π2)，f(sinθ)=f(cosθ)，
∴sin²θ-asinθ+1=cos²θ-acosθ+1，
∴sin²θ-cos²θ=a（sinθ-cosθ）
∴（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）=a（sinθ-cosθ），
∵θ∈（π4，π2），∴sinθ-cosθ≠0，
∴sinθ+cosθ=a，a=2sin（θ+π4），
由θ∈（π4，π2），得：θ+π4∈（π2，3π4），
∴sin（θ+π4）∈（22，1），
所以：a=2sin（θ+π4）∈（1，2）．
故答案为：（1，2）．

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解析

π4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2+ax+1，若∃θ.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点