题文
已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13（a∈R）．（1）函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为12x-y+b=0（b∈R），求a与b的值；
（2）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（3）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13（a∈R）．则导数f′（x）=ax2-（a+1）x+1，
函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0可知：
f′（-1）=a+（a+1）+1=12，f（-1）=-a3-12（a+1）-1-13=-12+b，
解得a=5，b=6；
（2）f′（x）=ax2-（a+1）x+1=a（x-1）（x-1a）
∵a＜0，∴1a＜1，
（-∞，1a）1a（1a，1）1（1，+∞）f′（x）-0+0-f（x）递减极小值递增极大值递减∴f（x）极大值=f（1a）=-2a2+3a-16a2，f（x）极大值=f（1）=-16（a-1）
（3）f（1a）=-2a2+3a-16a2=-(a-1)(2a-1)6a2，f（1）=-16（a-1）
f（2）=13（2a-1），f（0）=-13＜0，
①当a≤12时f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）=-13＜0，
f（1）=-16（a-1）＞0，f（2）=13（2a-1）≤0，所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；当 12＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在（1，1a）上为减函数，（1a，2）上为增函数，f（0）=-13＜0，
f（1）=-16（a-1）＞0，f（1a）=-(a-1)(2a-1)6a2＞0，f（2）=13（2a-1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，1a]上为增函数，在（1a，1）上为减函数，（1，2）上为增函数，f（0）=-13＜0，f（1a）=-(a-1)(2a-1)6a2＜0，f（1）=-16（a-1）＜0，f（2）=13（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
故存在实数a，当a≤12时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点．
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解析
a3考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a3x3-12(a+1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
