已知f(x)=|1|x-1|-1|，且关于x的方程f2+bf+c=0有k个根，则这k个根的和可能是______．

题文

已知f(x)=|1|x-1|-1|，且关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）个根，则这k个根的和可能是______．（请写出所有可能值） 题型：未知 难度：其他题型

答案

若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N^*）个根，
令t=f（x），则方程t²+bt+c=0必有正根
若方程t²+bt+c=0有两个相等的正根α
当0＜α＜1时，f(x)=|1|x-1|-1|=α，|x-1|=1+1α，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有2个根，2根之和为2；
当α=1时，f(x)=|1|x-1|-1|=1，|x-1|=2，或|x-1|=0，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个根，3根之和为3；
当α=1时，f(x)=|1|x-1|-1|=α，|x-1|=1±1α，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
若方程t²+bt+c=0有两个不等的正根α，β
当0＜α＜1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
当0＜α＜1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当0＜α＜1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当α=1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α＞1，β=1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，β＞1时，此时关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有8个根，8根之和为8；
故答案为：2、3、4、5、6、7、8

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解析

1|x-1|-1

考点

据考高分专家说，试题“已知f(x)=|1|x-1|-1|，且关.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点