已知函数f(x)=1-a+lnxx，a∈R求f的极值；若lnx-kx＜0在上恒成立，求实数k的取值范围；若f-e=0在

题文

已知函数f(x)=1-a+lnxx，a∈R
（1）求f（x）的极值；
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若f（x）-e=0在[1e2，1]上有唯一实根，求实数a的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f/(x)=a-lnxx2，令f′（x）=0，∴x=e^a------------------------------------------------（2分）
由下表：
x（0，e^a）e^a（e^a，+∞）f′（x）+0-f（x）↗极大值↘∴f（x）的极大值为f(ea)=1-a+aea=e-a
故f（x）的最大值为e^-a．-------------------------------------------------------（4分）
（2）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，∴k＞lnxx在（0，+∞）上恒成立∴k＞[lnxx]max-------------（6分）
由（1）：令a=1，则f(x)=lnxx，∴[lnxx]max=1e∴k＞1e--------------------------（8分）
（3）由f（x）-e=0得a=1+lnx-ex，令g（x）=1+lnx-ex，x∈[1e2，1]------------------------------（10分）
则g′(x)=1x-e，由g′（x）=0 得x=1e，
当x∈[1e2，1e)：g′(x)＞0，∴g（x）单调递增；当x∈(1e，1]：g′(x)＜0，∴g（x）单调递减．
且g(1e2)=1+ln1e2-e•1e2=-1-1e，g(1e)=1+ln1e-e•1e=-1，g（1）=1-e∵g(1e2)-g(1)=-2+e-1e=e2-2e-1e=(e-1)2-2e＜0∴g(1e2)＜g(1)
由题意得：a∈[g(1e2)，g(1)]∪{g(1e)}
即a∈[-1-1e，1-e)∪{-1}--------------------------------------------------------（13分）

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解析

a-lnxx2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1-a+lnxx，a∈.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点