已知函数f=cos为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2．求函数f的解析式；求函

题文

已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，π≤φ＜2π）为偶函数，且其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[0，4π]内的所有零点之和． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）为偶函数，∴cosφ=±1，∴φ=kπ，k∈z．
再由 π≤φ＜2π 可得 φ=π，∴函数f（x）=cos（ωx+π）=-cosωx，故其周期为 2πω，最大值为1．
设图象上最高点为（x₁，1），与之相邻的最低点为（x₂，-1），则|x₂-x₁|=T2=πω．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2=(πω)2+22，解得ω=1，
∴函数f（x）=-cosx．
（2）函数f（x）在[0，4π]内的所有零点为：π2，3π2，2π+π2，2π+3π2，
∴函数f（x）在[0，4π]内的所有零点之和为π2+3π2+(2π+π2)+(2π+3π2)=8π．

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解析

2πω

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点