已知n∈N*，设函数fn(x)=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1，x∈R．求函数y=f2-kx的单调区间；是否存在整数

题文

已知n∈N^*，设函数fn(x)=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1，x∈R．
（1）求函数y=f₂（x）-kx（k∈R）的单调区间；
（2）是否存在整数t，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解？若存在，求t的值；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）因为y=f₂（x）-kx=1-x+x22-x33-kx，
所以y′=-1+x-x²-k=-（x²-x+k+1），
方程x²-x+k+1=0的判别式△=（-1）²-4（k+1）=-3-4k，
当k≥-34时，△≤0，y′=-（x²-x+k+1）≤0，
故函数y=f₂（x）-kx在R上单调递减；
当k＜-34时，方程x²-x+k+1=0的两根为x1=1--3-4k2，x2=1+-3-4k2，
则x∈（-∞，x₁）时，y′＜0，x∈（x₁，x₂）时，y′＞0，x∈（x₂，+∞）时，y′＜0，
故函数y=f₂（x）-kx（k∈R）的单调递减区间为（-∞，x₁）和（x₂，+∞），单调递增区间为（x₁，x₂）；
（2）存在t=1，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[t，t+1]上有唯一实数解，理由如下：
当n=1时，f₁（x）=1-x，令f₁（x）=1-x=0，解得x=1，
所以关于x的方程f₁（x）=0有唯一实数解x=1；
当n≥2时，由f_n（x）=1-x+x22-x33+…-x2n-12n-1，
得f_n′（x）=-1+x-x²+…+x^2n-3-x^2n-2，
若x=-1，则f′_n（x）=f′_n（-1）=-（2n-1）＜0，
若x=0，则f′_n（x）=-1＜0，
若x≠-1且x≠0时，则f′_n（x）=-x2n-1+1x+1，
当x＜-1时，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f′_n（x）＜0，
当x＞-1时，x+1＞0，x^2n-1+1＞0，f′_n（x）＜0，
所以f′_n（x）＜0，故f_n（x）在（-∞，+∞）上单调递减．
因为f_n（1）=（1-1）+（12-13）+（14-15）+…+（12n-2-12n-1）＞0，
f_n（2）=（1-2）+（222-233）+（244-255）+…+（22n-22n-2-22n-12n-1）
=-1+（12-23）•2²+（14-25）•2⁴+…+(12n-2-22n-1)•22n-2
=-1-12•3•2²-34•5•24-…-2n-3(2n-2)(2n-1)•22n-2＜0，
所以方程f_n（x）=0在[1，2]上有唯一实数解，
综上所述，对于任意n∈N^*，关于x的方程f_n（x）=0在区间[1，2]上有唯一实数解，所以t=1．

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解析

x22

考点

据考高分专家说，试题“已知n∈N*，设函数fn(x)=1-x+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点