题文
已知函数f（x）=12m（x-1）2-2x+3+lnx，m∈R．（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+3+lnx由题意知x＞0，f′（x）=-2+1x=-2x+1x，令f′（x）＞0，得0＜x＜12时，
所以f（x）的增区间为（0，12）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+1x，得f′（1）=-1，
知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程 12m（x-1）2-x+1+lnx=0有且只有一个实数根；
设g（x）=12m（x-1）2-x+1+lnx，（x＞0）．
则g′（x）=mx2-(m+1)x+1x=(x-1)(mx-1)x，
①当m=1时，g′（x）=(x-1)(x-1)x≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；
②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜1m或x＞1，
由g′（x）=(x-1)(mx-1)x＜0得1m＜x＜1，
故g（x）在区间（0，1m），（1，+∞）上单调递增，在（ 1，1m）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；
③当0＜m＜1时，由g′（x）=(x-1)(mx-1)x＞0得0＜x＜1或x＞1m，
由g′（x）=＜0得1＜x＜1m，
故g（x）在区间（0，1），（1，1m）上单调递增，在（1m，+∞）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；
∴由上述知：m=1．
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=12m（x-1）2-2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。
函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，
方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根
函数y=f（x）的图像与x轴有交点
函数y=f（x）有零点
