四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ=x+y．求随机变量ξ的分布列

题文

四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x，y，记ξ=x+y．
（1）求随机变量ξ的分布列及数学期望；
（2）设“函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意，随机变量ξ的可能取值为2，3，4；
从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为C₄²=6，
当ξ=2时，摸出的小球所标的数字为1，1；
∴P（ξ=2）=16．
当ξ=4时，摸出的小球所标的数字为2，2；
∴P（ξ=4）=16．
∴可知当ξ=3时，P（ξ=3）=1-16-16=23
∴ξ的分布列为
                 ξ                 2                 3                4                P                 16                 23                16故Eξ=2×16+3×23+4×16=3
（2）∵函数f（x）=x²-ξx-1在区间（2，3）上有且只有一个零点
∴f（2）f（3）＜0即（3-2ξ）（8-3ξ）＜0
∴32＜ξ＜83且ξ的所求可能取值为2，3，4
∴ξ=2
∴P（A）=P（ξ=2）=16．
∴事件A发生的概率为16．

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解析

16

考点

据考高分专家说，试题“四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点