已知函数f=x2-x+1，x∈[1，2]2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)解关于x的不等式：f≤1；若1≤x≤2，判断函数h（x

题文

已知函数f（x）=x2-x+1，x∈[1，2]2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)
（I）解关于x的不等式_：f（x）≤1；
（II）若1≤x≤2，判断函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的零点个数，并说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）∵函数f（x）=x2-x+1，x∈[1，2]2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)
∴不等式_：f（x）≤1可化为：
1≤x≤2x2-x+1≤1…①或x＜1，或x＞22x-1≤1…②，
解①得x=1，解②得x＜1
综上所述原不等式的解集为（-∞，1]
（II）当1≤x≤2时，函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3=2x³-7x²+8x-3
∴h′（x）=6x²-14x+8=（6x-8）（x-1）
当1＜x＜43时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当43＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
故当x=43时，h（x）取最小值-127
又∵h（1）=0，h（2）=1＞0
故函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3在区间[1，2]上有2个零点

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解析

x2-x+1，x∈[1，2]2x-1，x∈(-∞，1)∪(2，+∞)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x2-x+1，x∈[1.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点