某同学在研究函数f=x1+|x|时，分别给出下面几个结论：①等式f+f=0在x∈R时恒成立；②函数f的值域为；③

题文

某同学在研究函数f（x）=x1+|x|（x∈R）时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；
②函数f（x）的值域为（-1，1）；
③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④方程f（x）-x=0有三个实数根．
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上） 题型：未知 难度：其他题型

答案

①f(-x)=-x1+|x|=-f(x)∴正确
②当x＞0时，f（x）=11+1x∈（0，1）
由①知当x＜0时，f（x）∈（-1，0）
x=0时，f（x）=0
∴f（x）∈（-1，1）正确；
③则当x＞0时，f（x）=11+1x反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，正确
④由③知f（x）的图象与y=x只有一个交点（0，0）．
不正确．
故答案为：①②③．

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解析

-x1+|x|

考点

据考高分专家说，试题“某同学在研究函数f（x）=x1+|x|（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点