如果关于x的方程ax+1x2=3在区间上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为______．

题文

如果关于x的方程ax+1x2=3在区间（0，+∞）上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程 ax+1x2=3有且仅有一个正实数解，
即方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，
即方程a=-1x3+3x有且仅有一个正实数解
讨论函数y=-1x3+3x的单调性，得（0，1）上函数为增函数，（1，+∞）上函数为减函数且函数值大于0
作出函数y=-1x3+3x的图象与直线y=a，如图所示



根据图象可得：当a≤0或a=2时在（0，+∞）上有且仅有一个交点．
故答案为：a≤0或a=2

点击查看函数的零点与方程根的联系知识点讲解,巩固学习

解析

1x2

考点

据考高分专家说，试题“如果关于x的方程ax+1x2=3在区间（.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点