已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围.

题文

已知函数f(x)=x²+(a²-1)x+(a-2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围. 题型：未知 难度：其他题型

答案

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解析

方法一 设方程x²+(a²-1)x+(a-2)=0的两根分别为x₁,x₂ (x₁＜x₂),
则(x₁-1)(x₂-1)＜0,∴x₁·x₂-(x₁+x₂)+1＜0,
由韦达定理得(a-2)+(a²-1)+1＜0,
即a²+a-2＜0,∴-2＜a＜1.
方法二 函数的大致图象如图所示,


则有f(1)＜0,即1+(a²-1)+a-2＜0,
a²+a-2＜0,∴-2＜a＜1.

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+(a2-1)x+.....”主要考查你对 [函数的零点与方程根的联系 ]考点的理解。 函数的零点与方程根的联系

函数零点的定义：

一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。               

函数零点具有的性质：

对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：
(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x²-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．
(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，

方程的根与函数的零点的联系：

方程f（x）=0有实根

函数y=f（x）的图像与x轴有交点

函数y=f（x）有零点