从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

题文

从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？

题型：未知 难度：其他题型

答案

首先，如下61个数：11，11+33，11+2×33，11+60×33（即1991）满足题设条件，
另一方面，设a₁＜a₂＜a_n是从1，2，2010中取出的满足题设条件的数，
对于这n个数中的任意4个数a_i，a_j，a_k，a_m，因为33|（a_i+a_k+a_m），33|（a_j+a_k+a_m），
所以33|（a_j-a_i），
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数，
设a_i=a₁+33d_i，i=1，2，3，n，
由33|（a₁+a₂+a₃），得33|（3a₁+33d₂+33d₃），
所以33|3a₁，11|a₁，即a₁≥11，dn=an-a133≤2010-1133＜61，
故d_n≤60，所以n≤61，
综上所述，n的最大值为61．

解析

an-a133

考点

据考高分专家说，试题“从1，2，…，2010这2010个正整数.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。