n个正整数a1，a2，…，an满足如下条件：1=a1＜a2＜…＜an=2009；且a1，a2，…，an中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值

题文

n个正整数a₁，a₂，…，a_n满足如下条件：1=a₁＜a₂＜…＜a_n=2009；且a₁，a₂，…，a_n中任意n-1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

题型：未知 难度：其他题型

答案

设a₁，a₂，a_n中去掉a_i后剩下的n-1个数的算术平均数为正整数b_i，i=1，2，n．即bi=(a1+a2++an)-ain-1．
于是，对于任意的1≤i＜j≤n，都有bi-bj=aj-ain-1，
从而n-1|（a_j-a_i），
由于b1-bn=an-a1n-1=2008n-1是正整数，
故n-1|2³×251，
由于a_n-1=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）≥（n-1）+（n-1）+…+（n-1）=（n-1）²，
所以，（n-1）²≤2008，于是n≤45，
结合n-1|2³×251，所以，n≤9；
另一方面，令a₁=8×0+1，a₂=8×1+1，a₃=8×2+1，a₈=8×7+1，
a₉=8×251+1，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9．

解析

(a1+a2++an)-ain-1

考点

据考高分专家说，试题“n个正整数a1，a2，…，an满足如下条.....”主要考查你对 [有理数除法 ]考点的理解。

有理数除法

有理数除法定义：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做有理数的除法。

有理数的除法法则：
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数；
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
（3）0除以任何一个不等于0的数都等于0。

有理数除法注意：
①0不能做除数；
②有理数的除法和乘法是互逆运算；
③在做除法运算时，根据同号得正，异号的负的法则先确定符号，在把绝对值相除，若在算式中有带分数，一般化成假分数进行计算，若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。