线面平行的判定定理:线面平行的判定定理

1.线面平行的判定定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，a∥b，a∥α向量法证明：设a的方向向量为a，b的方向向量为b，面α的法向量为p。α∴b⊥p，即p·b=0 ∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得a=kb那么p·a=p·kb=kp·b=0 即a⊥p ∴a∥α定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。a⊥b，b⊥α，且a不在α上。a∥α证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。假设a与α不平行，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC∵B∈α，C∈α，b⊥α ∴b⊥BC，即∠ABC=90°∵a⊥b。

2.线面平行的判定方法有哪些?

1、如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，这是判定定理；2、如果一条直线与一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行。3、如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另外一个平面相平行；4、如果平面外一条直线与平行于该平面的直线平行，5、如果平面外一条直线与这个平面的垂线相垂直，定理1一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。a∈β，α∩β=b。a∥b证明：假设a与b不平行，设它们的交点为P，即P在直线a，∵b∈α，∴a∩α=P与a∥α矛盾∴a∥b此定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。通过直线与平面平行可得到直线与直线平行。这给出了一种作平行线的重要方法。直线与平面平行，不代表与这个平面所有的直线都平行，但直线与平面垂直，那么这条直线与这个平面内的所有直线都垂直。定理2一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。a∥α，b⊥α。由于α的垂线有无数条，因此可将b平移至与a相交，设平移的直线为c。

3.怎样证明直线与平面平行的判定定理

线线平行→线面平行：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，线面平行→面面平行：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，如果两个平行平面同时和第三个平面相交，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，线面垂直→线线平行：如果连条直线同时垂直于一个平面，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，如果两个平面的垂线平行，（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。α∥β，先证明l与β有交点。若l∥β∵l⊥α∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。设l∩α=A，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A因此a与l确定一个平面。由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。设与β的交线为b，由定理2可知a∥b∵l⊥α，α∴l⊥a∴l⊥b再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d。

4.线线平行如何判定面面平行

线线平行→线面平行 ：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线面平行→线线平行 ：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行→面面平行 ：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。线线垂直→线面垂直 ：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线面垂直→线线平行 ：如果连条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直→面面垂直 ：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。扩展资料：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）证明：由线面垂直的性质可知两条平行线与两个平面都垂直，运用定理1可知面面平行。定理1及其推论是向量法证明面面平行的基础，如果两个平面的法向量平行或相等，那么这两个平面平行。两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β证明：先证明l与β有交点。若l∥β∵l⊥α∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。设l∩α=A，l∩β=B在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。设与β的交线为b，由定理2可知a∥b∵l⊥α，a⊂α∴l⊥a∴l⊥b再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾∵l与β内相交直线b、d都垂直∴l⊥β经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。已知：P是平面α外一点求证：过P有且只有一个平面β∥α证明：先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a'∥a，b‘∥b，则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。参考资料：百度百科——面面平行

5.直线与平面平行的判定定理是什么？

该直线与平面内的一条直线平行,则我们说该直线与该平面平行。

6.如何证明“直线与平面平行的判定定理“

设：过这两点的一次函数为y=kx+b∵过这两点∴5=3k+b 3=2k+b（就是把这两点的坐标代进去，x换为横坐标的值，y同理）解该二元一次方程组，k=2b=-1∴y=2x-1设二次函数为y=ax^2+bx+c 代入A（4,0）B(1,0)C（0，-2） 得a=-1/2,b=5/2)x-2 (2) 假设存在,设P(x,当P在对称轴左侧时,即(1<x≤5/2)时,OC:OA=PM:4=y:(4-x)=1/2 得x=2或x=4(舍) 此时P点坐标为P(2,1) 当P在对称轴右侧时,4)时,有:OC:OA=(4-x):2)x-2 则[(-1/2)x-2]/(4-x)=2 得x=4(舍)或x=5(舍) 即只存在一点P(2,1)使△PMA与△OAC相似 (3) △DCA的底AC固定,即高h在变. 高即点D到AC的距离 设点D(x,y) AC直线易求:y=(1/2)x-2 即x-2y-4=0 点到直线距离:|x-2y-4|/2)x^2+(5/2)x-2]-4|/√(1^2+2^2) =|x^2-4x|/

7.可以帮忙总结一下线面，线线，面面 平行，垂直的判定和性质吗？多谢了。😊

平行于同一条直线的两条直线互相平行。2、线面平行性质：经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么这两条直线平行。5、平几中的有关平行线的判定（二）、线线垂直的判定方法：1、异面直线垂直的定义；2、如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么它也和另一条直线垂直；如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。二、（一）线面平行的判定方法：1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。2、面面平行的性质定理（如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面）；（二）线面垂直的判定方法：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2、面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。3、面面平行性质定理（如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，4、如果两条平行线的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；1、面面平行的判定定理：