面面垂直:面面垂直的判定定理

1.面面垂直的判定定理

一个平面过另一平面的垂线，则α⊥β证明：任意两个平面关系为相交或平行，设a⊥β，垂足为P，那么P∈β∵a⊂α，P∈a∴P∈α即α和β有公共点P，因此α与β相交。设α∩β=b，∵P是α和β的公共点∴P∈b过P在β内作c⊥b∵b⊂β，a⊥β∴a⊥b，垂足为P又c⊥b，垂足为P∴∠aPc是二面角α-b-β的平面角∵c⊂β∴a⊥c，即∠aPc=90°根据面面垂直的定义，α⊥β扩展资料：那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。α∩β=l，O∈l，OP⊥l，OP⊥β。过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，β，β∴OP⊥β定理2：那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。已知α⊥β，A∈α，AB⊥β。α证明：假设AB不在α内，则AB与α只有一个交点A。（因为不可能直线的一部分在平面内而另一部分在平面外，即直线的两点在面上则直线就在面上）当A在α和β的交线外时，则B是垂足∵AB⊥β于B∴B∈β设α∩β=MN，过B在β内作BC⊥MN，由定理1可知BC⊥α连接AC∵AC⊂α∴AC⊥BC但AB⊥β，β∴AB⊥BC即在平面ABC上，过一点A有AB、AC同时垂直BC，与垂直定理矛盾。当A在α和β的交线上时，A是垂足。设α∩β=MN，在α内作AC⊥MN，由定理1可知AC⊥β但AB⊥β，即过A有两条直线AB、AC与β垂直，这和线面垂直的性质定理矛盾∴假设不成立，如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。β⊥γ，α∩β=l。l⊥γ证明：设α∩γ=a，β∩γ=b∵a∩b=l∴a与b相交设a∩b=P，则P∈l若l与γ不垂直。

2.面面垂直的证明方法是什么？

3.面面垂直怎么证明？

4.如何判断面面垂直

5.面面垂直可以推出什么

推论：1、三个两两垂直的平面的交线两两垂直。2、如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）可以根据定理4先证明一个平面的垂线平行于另一个平面，再根据线面平行的性质证明这条直线与另一个平面的垂线垂直。3、如果两个平面的垂线互相垂直，那么这两个平面互相垂直。（可理解为法向量垂直的平面互相垂直）4、如果一个平面的垂线平行于另一个平面，那么这两个平面互相垂直。扩展资料：定理：1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。2、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。3、如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内。4、如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）参考资料来源：百度百科-面面垂直

6.如何用面面垂直证明 线面垂直

如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。已知：α∩β=l，O∈l，OP⊥l，求证：OP⊥β。过O在β内作OQ⊥l，则由二面角知识可知∠POQ是二面角α-l-β的平面角。∵α⊥β∴∠POQ=90°，即OP⊥OQ∵OP⊥l，l∩OQ=O，l⊂β，β∴OP⊥β扩展资料：那么该直线垂直于平面内的所有直线。有且只有一条直线垂直已知平面。如果在两条平行直线中，那么另一条直线也垂直于这个平面。性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。推论：空间内如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行。（该推论意味着平行线的传递性不仅在平面几何上，在空间几何上也成立。过空间内一点（无论是否在已知平面上），有且只有一条直线与平面垂直。下面就讨论如何作出这条唯一的直线。1、点在平面外：设点P是平面α外的任意一点，①在α内任意作一条直线l，并过P作PA⊥l，垂足为A。若PA⊥α，则所需PQ已作出；②在α内过A作m⊥l。③过P作PQ⊥m，垂足为Q，由作法可知，l⊥QA∵PA∩QA=A∴l⊥平面PQA∴PQ⊥l又∵PQ⊥m，且m∩l=A，m⊂α。

7.面面垂直性质定理证明

平面α⊥β，α∩β＝l，m∈α且m⊥l求证：令m∩l=A,过点A在平面β内作直线n⊥l∵m⊥l，n⊥l，α⊥β∴由两平面垂直的定义。

8.面面垂直怎么推出线面垂直？

任选两个面中的一个，在其中做一条直线垂直于两面相交的直线。因为是同一个面内，因为线线垂直，相交线也在另一个面内，做的线在另一面外，所以线面垂直。定理：直线与平面垂直的判定定理(线面垂直定理):一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。