| 如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方）， 证明：（1）2a，2b，c都是整数； （2）a，b，c都是整数，并且c是平方数； （3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数？ |
答案：
| 证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数， ∴令x=0，a•02+b•0+c=c， c是整数且是平方数， 令x=1，-1时a•12+b•1+c，a•（-1）2+b•（-1）+c是平方数， ∴可设a•12+b•1+c=m12①a•（-1）2+b•（-1）+c=n12 ②c=k12（m1n1k1均为整数）， ①-②得：2b=m12-n12， ∴2b为整数（整数相减为依然为整数）， 由①得：2a=2m12-2b-2c， ∴2a为整数， ∴2a，2b，c都是整数；（2）（1）中已证c是整数且是平方数， 令x=2，-2时，可设a•22+b•2+c=m22③a•（-2）2+b•（-2）+c=n22④c=k12（m2n2k1均为整数）， ③-④得：4b=m22-n22=（m2+n2）（m2-n2）=2（2b）， ∵2b为整数， ∴2（2b）为偶数，则m22-n22为偶数， ∴（m2+n2），（m2-n2）同奇同偶， 则可设（m2+n2）=2m，（m2-n2）=2n（m，n均为整数）， ∴4b=2m•2n=4mn， ∴b=mn， ∴b为整数；（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax2+bx+c=3，而3不是平方数． ∴不一定成立． |
