已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点A（1，），且离心率e=． （Ⅰ）求椭圆C的方程；（

试题：

已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点A（1， ），且离心率e= ．

（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过点B（﹣1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

直线的方程, 直线与椭圆方程的应用, 椭圆的标准方程及图象

答案：

解：（Ⅰ）由已知e= = ，即c2= a2，b2=a2﹣c2= a2， ∴ ∵椭圆C： + =1（a＞b＞0）经过点A（1， ）， ∴ ∴a2=2， ∴b2=1， ∴椭圆C的方程为 +y2=1． （Ⅱ）因为直线l经过椭圆内的点B（﹣1，0），所以直线l与椭圆恒有两个不同的交点M，N．当直线l的斜率不存在时，其方程是：x=﹣1，代入 +y2=1得y=± ，可知M（﹣1， ），N（﹣1， ） ∴以MN为直径的圆不经过坐标原点O当直线l的斜率存在时， 设方程是y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2） 由 ，可得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0 ∴x1+x2= ，x1x2= ， 因为以MN为直径的圆经过坐标原点O，所以 =0． 可得x1x2+y1y2=x1x2+k（x1+1）k（x2+1）=（1+k2）x1x2+k2（x1+x2）+k2=0． ∴（1+k2）× +k2× +k2=0． ∴k=±2 综上所述，过点B（﹣1，0）能作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O，方程为y=2x+2或y=﹣2x﹣2．