已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点．（Ⅰ）若A，C所在的直线

试题：

已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点． （Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长； （Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由．

直线与椭圆方程的应用

答案：

（Ⅰ）由 x2+2y2=2 y=x+1 ， 得3x2+4x=0， 解得x=0或x=- 4 3 ， ∴A，C两点的坐标为（0，1）和(- 4 3 ，- 1 3 )， ∴|AC|= 4 3 2 ． （Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则B( 2 ，0)， ∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上， ∴P( 2 3 ，0)，求得|AC|= 4 3 2 ， ∴△OAC的面积等于 1 2 × 4 2 3 × 2 3 = 4 9 ． ②若B不是椭圆的左、右顶点， 设AC：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），C（x2，y2）， 由 y=kx+m x2+2y2=2 得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0， 则x1+x2=- 4km 2k2+1 ，x1x2= 2m2-2 2k2+1 ， ∴AC的中点P的坐标为(- 2km 2k2+1 ， m 2k2+1 )， ∴B(- 6km 2k2+1 ， 3m 2k2+1 )，代入椭圆方程，化简得2k2+1=9m2． 计算|AC|= 1+k2 (x1+x2)2-4x1x2 = 2 2 1+k2 2k2+1-m2 2k2+1 = 8 1+k2 9|m| ． ∵点O到AC的距离dO-AC= |m| 1+k2 ． ∴△OAC的面积S△OAC= 1 2 |AC|•dO-AC= 1 2 × 8 1+k2 9|m| • |m| 1+k2 = 4 9 ． 综上，△OAC面积为常数 4 9 ．