椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆

试题：

椭圆 x2 a2 + y2 b2 =1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为______．

直线与椭圆方程的应用

答案：

设以椭圆的短轴为直径的圆与线段PF1相切于点M，连结OM、PF2， ∵M、O分别为PF1、F1F2的中点， ∴MO∥PF2，且|PF2|=2|MO|=2b， 又∵线段PF1与圆O相切于点M，可得OM⊥PF1， ∴PF1⊥PF2， ∴|PF1|= 4c2-4b2 =2 c2-b2 ． ∴|PF1|+|PF2|=2 c2-b2 +2b=2a， 化简得2ab=a2-c2+2b2=3b2， ∴b= 2 3 a，c= 5 3 a， ∴离心率为e= c a = 5 3 ． 故答案为： 5 3 ．