已知椭圆 的左，右两个顶点分别为  、  ．曲线  是以 、 两点为顶点，离心率为  的双曲线．设点  在第一象限且在曲线 上，直线  与椭圆相交于另一点  ．（1）求曲线 的方程；（2）设 、 两点的横坐标分别为  ，  ，证明：  . |
答案：
（1） ；（2）详见解析. |
| 试题分析：（1）由椭圆 的左右顶点分别为  可得  ，  ，又由双曲线 是 为顶点，故可设双曲线 的方程为  ，再由条件中双曲线离心率为 ，可建立关于  的方程  ，从而得到双曲线的方程为 ；（2）根据题意可设直线 的方程为  ，将直线方程与椭圆方程联立求 ，  ，消去  后可得：  ，解得  或  ，因此  ，同理，将直线方程与双曲线方程联立，消去 后可得  ，从而 得证． .试题解析：（1）依题意可得 ， ，∴设双曲线 的方程为 ，又∵双曲线的离心率为 ，∴ ，即  ，∴双曲线 的方程为 ；（2）设点  ，  （  ，  ，  ），设直线 的方程为 ，联立方程组 ，整理得：  或 ，∴ ， 同理可得，联立方程组  ，∴ ． . |
