如图，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，M，N分别是矩形四条边的中点，G，H分别是线段ON，CN的中点．（1）证明：直线EG与FH的交点L在椭圆W： 上；（2）设直线l：  与椭圆W： 有两个不同的交点P，Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求  的最大值及取得最大值时m的值．  |
答案：
（1）证明见解析；（2）当 或  时， 取得最大值  . |
试题分析：解题思路：（1）由点写出直线方程，联立直线方程得到交点坐标，，验证点满足椭圆方程；（2）联立直线与椭圆的方程，常用“设而不求”的方法，求弦长，进而求所求比值，常用换元法求最值.规律总结：直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般综合性强.一般思路是联立直线与圆锥曲线的方程，整理得关于 的一元二次方程，常用“设而不求”的方法进行求解.试题解析：（1）点  ，  ，  ，  ，则直线EG：  ，直线FH：  ，则直线EG与FH的交点  ，因为  ，故直线EG与FH的交点L在椭圆W： 上．（2）联立方程组  消去y，得  ，设  ，  ，则  ，  ，由  及  得  ．  ，若直线l过A点时，  ，①当  时，  ，  ，当  时， 最大值 ．②当  时，设  ，  ，  ，  ，令  ，则  ，当  ，即  ，  时， 取最大值 ．综上所述，当 或 时， 取得最大值 ． |
