已知圆C经过 两点，且在  轴上截得的线段长为  ，半径小于5.（1）求直线  与圆C的方程；（2）若直线  ，直线  与圆C交于点A、B，且以AB为直径的圆经过坐标原点，求直线 的方程. |
答案：
（1）直线PQ： ，圆C方程：  （2）直线  或  . |
试题分析：（1）根据直线方程的点斜式求解所求的直线方程是解决本题的关键，根据待定系数法设出圆心坐标和半径，寻找未知数之间的关系是求圆的方程的关键，注意弦长问题的处理方法；（2）利用直线的平行关系设出直线的方程，利用设而不求的思想得到关于所求直线方程中未知数的方程，通过方程思想确定出所求的方程，注意对所求的结果进行验证和取舍．试题解析：（1）直线PQ的方程为 即直线PQ的方程为x+y-2=0，C在PQ的中垂线  即y=x-1上，设C（n，n-1），则r2=|CQ|2=（n+1）2+（n-4）2，由题意，有  ∴n2+12=2n2-6n+17，∴n=1或5（舍去），r2=13或37（舍去），∴圆C的方程为 ．（2）设直线l的方程为x+y+m=0，由  ,消去y得2x2+（2m-2）x+m2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=1-m，x1x2=  又∵以AB为直径的圆经过坐标原点  ∠AOB=90°，∴x1x2+y1y2=0∴  ，将韦达定理的结果代入并整理化间得m2+m-12=0，∴m=3或-4（均满足△＞0），∴l的方程为x+y+3=0或x+y-4=0． |
