已知椭圆 的两个焦点分别为  ，且  ，点  在椭圆上，且  的周长为6.（1）求椭圆  的方程；（2）若点 的坐标为  ，不过原点  的直线  与椭圆 相交于  不同两点，设线段  的中点为  ，且  三点共线．设点 到直线 的距离为  ，求 的取值范围． |
答案：
（1） ；（2）  . |
| 试题分析：（1）本小题中 为焦点三角形，其周长为  ，又  ，两式组成方程组从而易求出  ，即可写出椭圆方程；（2）本小题中直线 的方程可设为  （其中  不存在是不可能的），与椭圆方程联立消y,利用韦达定理与中点坐标公式，可得M点坐标（用k,m表示），当 三点共线，则有  即可解出k的值，又消y后的方程的  可得m的范围，而点 到直线 的距离 可用m表示，利用函数观点可求出 的取值范围．试题解析：（1）由已知得 ，且 ，解得  ，又  ，所以椭圆 的方程为 .（2）当直线 与  轴垂直时，由椭圆的对称性可知：点 在 轴上，且与原点 不重合，显然 三点不共线，不符合题设条件．所以可设直线 的方程为 ，由  消去  并整理得：  ①则  ，即  ，设  ， 且  ，则点  ，因为 三点共线，则 ，即  ，而  ，所以  ，此时方程①为  ，且  因为  ，所以 . |
