过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于P、Q，由P、Q分别引其准线的垂线P

试题：

过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于P、Q，由P、Q分别引其准线的垂线PH1、QH2垂足分别为H1、H2，H1H2的中点为M，记|PF|=a，|QF|=b，则|MF|=______．

抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

答案：

①PQ与x轴不垂直时，如图所示， 由抛物线的定义，可得|PF|=|PH1|，|QF|=|QH2|． ∴∠PFH1=∠PH1F，∠QFH2=∠QH2F， 设准线交x轴于点G， ∵QH2∥FG∥PH1，∴∠H2FG=∠QH2F，∠H1FG=∠PH1F． 因此∠H2FG=∠QFH2，且∠H1FG=∠PFH1， 可得∠H2FG+∠H1FG= 1 2 ×180°=90°． ∴Rt△H1H2F中，中线|MF|= 1 2 |H1H2|． 过点P作PN⊥QS，垂足为N，则|PN|=|H1H2|． 在Rt△PQN中，|PQ|=|PH1|+|QH2|=a+b，|QN|=||PH1|-|QH2||=|a-b|， ∴|PN|= |PQ|2-|QN|2 = (a+b)2+(a-b)2 =2 ab ．可得|MF|= 1 2 |H1H2|= ab ． ②当PQ⊥x轴时，可得p=a=b，此时|MF|=p= ab 也成立． 综上所述，可得MF的长等于 ab 故答案为： ab