已知椭圆E：的左焦点F1（，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1

试题：

已知椭圆E： 的左焦点F1（ ，0），若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F。 （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G： ，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连结MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？ （Ⅲ）过坐标原点O的直线交椭圆W： 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB。

直线与椭圆方程的应用, 椭圆的标准方程及图象, 两直线平行、垂直的判定与性质

答案：

解：（Ⅰ）连接 （O为坐标原点， 为右焦点）， 由题意知：椭圆的右焦点为 ， 因为FO是 的中位线，且 ， 所以 ， 所以 ， 故 ， 在 中， ， 即 ， 又 ， 解得 ， 所求椭圆 的方程为 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆G： ， 设直线l的方程为y=k（x+2）并代入 ， 整理得： ， 由 得： ， 设 ， 则由中点坐标公式得： ， ①当k=0时，有N（0，0），直线MN显然过椭圆 的两个顶点 ； ②当 时，则 ，直线 的方程为 ， 此时直线 显然不能过椭圆 的两个顶点 ； 若直线 过椭圆 的顶点 ， 则 ，即 ， 所以 ，解得： （舍去）； 若直线 过椭圆 的顶点 ， 则 ，即 ， 所以 ，解得： （舍去）； 综上，当 或 或 时， 直线 过椭圆 的顶点。 （Ⅲ）由（Ⅰ）得椭圆 的方程为 ， 根据题意可设 ，则 ， 则直线 的方程为 ，…① 过点P且与AP垂直的直线方程为 ，…② ①×②并整理得： ， 又P在椭圆W上， 所以 ，所以 ， 即①、②两直线的交点B在椭圆W上， 所以PA⊥PB。