如图，已知AB是过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的弦，F为抛物线的焦点，点A（x1，y

试题：

如图，已知AB是过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的弦，F为抛物线的焦点，点A（x1，y1），B（x2，y2）． 求证： （1）|AB|=x1+x2+p； （2）y1y2=-p2，x1x2= p2 4 ； （3）（理科）直线的倾斜角为θ时，求弦长|AB|． （3）（文科）当p=2，直线AB的倾斜角为 π 4 时，求弦长|AB|．

抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

答案：

（1）证明：∵AB是过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的弦， ∴由抛物线定义可得|AB|=x1+ p 2 +x2+ p 2 =x1+x2+p； （2）证明：设直线AB的方程为x=my+ p 2 ，代入y2=2px，可得y2-2pmy-p2=0 ∴y1y2=-p2，∴x1x2= p2 4 ； （3）（理科）由（2）知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，∴ y 21 + y 22 =（y1+y2）2-2y1y2=4p2m2+2p2， ∴ y 21 + y 22 =2p（x1+x2）=4p2m2+2p2，∴x1+x2=2pm2+p， ∴θ=90°时，m=0，∴|AB|=2p；θ≠90°时，m= 1 tanθ ，|AB|= 2p tan2θ +2p； （4）（文科）由（3）（理科）知，|AB|= 2p tan2θ +2p=8．