在平面直角坐标系 中，已知椭圆  ∶  的左、右焦点分别  、  焦距为  ，且与双曲线  共顶点．  为椭圆 上一点，直线  交椭圆 于另一点  ．（1）求椭圆 的方程；（2）若点 的坐标为  ，求过 、 、 三点的圆的方程；  （3）若  ，且  ，求  的最大值． |
答案：
（1） （2）  ；（3） |
试题分析：（1）由题易得椭圆中 ，可得椭圆方程 ；（2）因为点 的坐标为 ，故  ，可得 的方程为  ，联立直线方程和椭圆方程得  ，  ，可得圆心坐标和半径，则圆的方程可求；（3）由题 ，设  ，  ，  可得  ，将其代入椭圆方程解得  ，   ，由 ，  ，即得 的最大值1）解：由题意得 ,故椭圆的方程为 ．（2）因为 所以 的方程为 由  解得点 的坐标为  ． 因为 所以  为直角三角形因为  的中点为  ，  ，所以圆的方程为 . （3）设 ，则 ， 因为 ，所以  即 所以  解得 所以   因为 ，所以 ，当且仅当  ，即  时，取等号． 最大值为． |
