已知椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0

试题：

已知椭圆C： （a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆 有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B， （1）求椭圆C的标准方程； （2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围。

直线与椭圆方程的应用, 椭圆的标准方程及图象

答案：

解：（1）∵焦距为4， ∴ c=2，        又∵ 的离心率为 ，     ∴ ， ∴a= ，b=2，       ∴标准方程为 。     （2）设直线l方程：y=kx+1， A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 得 ，       ∴x1+x2= ，x1x2= ， 由（1）知右焦点F坐标为（2，0）， ∵右焦点F在圆内部， ∴ ＜0，    ∴（x1-2）（x2-2）+y1y2＜0， 即x1x2-2（x1+x2）+4+k2x1x2+k（x1+x2）+1＜0，                 ∴ ，   ∴k＜ ， 经检验得k＜ 时，直线l与椭圆相交， ∴直线l的斜率k的范围为（-∞， ）。