【题目】甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成。若按乙、丙、甲的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人一天轮流去做，则比原计划多用天。已知甲单独做完这件工作要13天，问：甲、乙、丙三人一起做这件工作要用多少天完成？
【答案】5天
【解析】
根据题意可知，按甲、乙、丙的顺序每人轮流去做，恰好整数天完成，其余两个方案都不是整天完工，那么甲乙丙的方案，一定是甲或乙结尾，不可能是丙结尾，丙结束就是整数周期；按两种情况第一种是甲结束，甲＝乙+丙×＝丙+甲×；丙＝×甲，这样乙、丙的工作效率就相同了，根据题意三队的工作效率各不相同，从而排除第一种情况；第二种情况：乙结束，甲＋乙＝乙＋丙＋甲×＝丙＋甲＋乙×，丙＝甲×=乙×，丙=甲×，乙=甲×，从而算出三个工程队合作的时间。
由题设甲的工作效率为，而对于甲、乙、丙次序的安排，结束工作的只可能为甲或乙。分两种情况讨论：
（1）结束工作的是甲。此时，第一种安排的收尾是甲做1天，第二种安排的收尾为乙做1天，丙做天，第三种安排的收尾为丙做1天，甲做天。但这三种收尾的工作量相等。所以，比较可知，丙的工作效率为甲的，乙的工作效率也为甲的。从而，原计划的工作时间为
，
不是整数，与题设矛盾，即这种情况不可能。
（2）结束工作的是乙。此时，第一种安排的收尾为甲做1天，乙做1天；第二种安排的收尾为乙做1天，丙做1天，甲做天；第三种安排的收尾为丙做1天，甲做1天，乙做天。但这三种收尾工作量都相等，所以，比较可知，丙的工作效率为甲的，乙的工作效率为甲的。从而，原计划的工作时间为
（天）
为整天，符合要求。
因此，甲、乙、丙一起完成这件工作需
（天）。
