一、平面向量的加法和常用结论
1、向量的加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$boldsymbol a$，有$boldsymbol 0+boldsymbol a=boldsymbol a+boldsymbol 0=boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。
①常用结论
$boldsymbol 0+boldsymbol a=boldsymbol a+boldsymbol 0=boldsymbol a$，$|boldsymbol a+boldsymbol b|leqslant |boldsymbol a|+|boldsymbol b|$。
当$boldsymbol a$与$boldsymbol b$同向时，$|boldsymbol a+boldsymbol b|=|boldsymbol a|+|boldsymbol b|$。
当$boldsymbol a$与$boldsymbol b$反向或$boldsymbol a$，$boldsymbol b$中至少有一个为$boldsymbol 0$时，$|boldsymbol a+boldsymbol b|=$$|boldsymbol a|-|boldsymbol b|$（或$|boldsymbol b|-|boldsymbol a|$）。
②向量加法的运算律
交换律：$boldsymbol a+boldsymbol b=boldsymbol b+boldsymbol a$。
结合律：$(boldsymbol a+boldsymbol b)+boldsymbol c=boldsymbol a+(boldsymbol b+boldsymbol c)$。
2、向量的减法
求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。
常用结论
$-(-boldsymbol a)=boldsymbol a$，$boldsymbol a+(-boldsymbol a)=(-boldsymbol a)+boldsymbol a=boldsymbol 0$，$boldsymbol a-boldsymbol b=boldsymbol a+(-boldsymbol b)$。
3、向量的数乘
一般地，我们规定实数$λ$与向量$boldsymbol a$的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$λboldsymbol a$。它的长度与方向规定如下：
① $|λboldsymbol a|=|λ||boldsymbol a|$。
② 当$λ=0$时，$λboldsymbol a=0$；当$λ<0$时，$λboldsymbol a$的方向与$boldsymbol a$的方向相反；当$λ>0$时，$λboldsymbol a$的方向与$boldsymbol a$的方向相同。
向量数乘运算的结果仍是向量。实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如$λ+boldsymbol a$，$λ-boldsymbol a$无意义。
向量数乘的运算律
设$λ$，$μ$为实数，则有：
$λ(μboldsymbol a)=(λμ)boldsymbol a$（结合律）。
$(λ+μ)boldsymbol a=λboldsymbol a+μboldsymbol a$（第一分配律）。
$λ(boldsymbol a+boldsymbol b)=λboldsymbol a+λboldsymbol b$（第二分配律）。
特别地，我们有：
$(-λ)boldsymbol a=-(λboldsymbol a)=λ(-boldsymbol a)$。
$λ(boldsymbol a-boldsymbol b)=λboldsymbol a-λboldsymbol b$。
4、向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。对于任意向量$boldsymbol a$，$boldsymbol b$以及任意实数$λ$，$μ_1$，$μ_2$，恒有$λ(μ_1boldsymbol a±μ_2boldsymbol b)=$$λμ_1boldsymbol a±λμ_2boldsymbol b$。
二、平面向量的加法的相关例题
已知向量$boldsymbol a$，$boldsymbol b$均为非零向量，则下列说法不正确的个数是___
① 向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$反向，且$|boldsymbol a|>|boldsymbol b|$，则向量$boldsymbol a+boldsymbol b$与$boldsymbol a$的方向相同；
② 向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$反向，且$|boldsymbol a|<|boldsymbol b|$，则向量$boldsymbol a+boldsymbol b$与$boldsymbol a$的方向相同；
③ 向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$同向，则向量$boldsymbol a+boldsymbol b$与$boldsymbol a$的方向相同。
A．0 B．1 C．2 D．3
答案：B
解析：对于①向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$反向，且$|boldsymbol a|>|boldsymbol b|$，向量$boldsymbol a+boldsymbol b$与$boldsymbol a$的方向相同正确；对于②，向量$boldsymbol a+boldsymbol b$与$boldsymbol b$的方向相同，故②说法不正确；③向量$boldsymbol a$与$boldsymbol b$同向，则向量$boldsymbol a+boldsymbol b$与$boldsymbol a$的方向相同正确，故①③说法正确。故选：B。
