今天来说说最速降线问题，在数学史上这个问题和悬链线问题一样著名，问题的解决还催生了数学方法“变分法”的诞生。
先说说问题的历史和发展：
1696 年 6 月约翰·伯努利以最速降线问题向欧洲数学界发起挑战，他说：“我，约翰·伯努利，向世界上最杰出的数学家喊话。对聪明人来说，没有什么比正确的、具有挑战性的问题更有吸引力的了，它的解决方案将赋予解答者名誉并作为永恒的纪念碑而存在。以帕斯卡、费马等人为榜样，我希望通过向我们这个时代最优秀的数学家提出一个考验他们方法和智力的问题，使他赢得整个科学界的崇敬。如果有人向我传达了所提出问题的解决方案，我将公开宣布他值得表扬”。
约翰·伯努利将问题陈述为：若A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连接A和B的平面曲线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿这条曲线运动时所需时间最短。
其实早在1638 年，伽利略在他的《两门新科学》中就提到了这个问题，只不过伽利略认为最短路径是圆弧，当然这答案是错误的。
约翰·伯努利宣称自己已得到问题的解答并将挑战时限定为六个月，但在此期间他没有收到任何回复。应莱布尼茨的要求，挑战时间公开延长了一年半。1697 年 1 月 29 日，当艾萨克·牛顿回到家时，发现约翰·伯努利写给他的一封信，信中以最速降线问题向他发起挑战。牛顿仅用一个晚上就解决了这个问题，并匿名发表在哲学汇刊上。伯努利读到牛顿的答案后，立刻认出了它的作者，并惊呼“从爪印认出了狮子”。当时牛顿已经54岁，沉迷于神学，很久没关注数学了。其实牛顿的解答很简洁,基本上就算只写了答案,没过多的论述原理,凭牛顿的实力应该是不屑于写(意思是我仅凭几何想象就能吊打你，据说牛顿之所以要一个晚上才解出来，是因为太久没接触数学，需要点时间热身）。
然而约翰·伯努利自己却花了整整两周时间才解出这个问题，真是装逼遇到祖师爷……
牛顿后来对他的朋友说，“我不喜欢一些人在数学上挑战我……”
除了牛顿，莱布尼兹、洛比达以及雅各布·伯努利等也解决了这个问题。
看上面动图可知，有一条路径是用时最短的，那这条曲线到底是什么呢？答案是摆线，即圆周上固定一点在圆滚动时的轨迹。
那我们还是再介绍一下摆线，新课标人教A版高中数学选修4-4参数方程中对摆线方程有描述。
当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹是什么?
我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个定点满足的几何条件。如图,假设B为圆心，圆周上的定点为M,开始时位于O处。圆在直线上滚动时，M在圆上绕圆心作圆周运动，转过 (弧度)角后，圆与直线相切于A,线段OA的长等于弧AM的长，即OA=rφ (这一瞬间可以看作M在以AM为半径，划过一微小圆弧，即M轨迹的一微小段)。这就是圆周上的定点M在圆B沿直线滚动过程中满足的几何条件。我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
当时约翰·伯努利总共找到了两种解法(现在一般称为“直接法”和“间接法”)，根据莱布尼茨的建议，他最初只发表了“间接法”(即“费马原理”解释)，然而最后一步的解释却有误。直到1718年他才公开他的“直接法”(这也是唯一从曲率方向解释的方法)。
再回到正题，为什么最速降线的曲线是摆线呢？由于问题的正解要用到变分法，非常复杂，在这里我们只采取约翰·伯努利的“间接法”(毕竟高端的变分法是他哥哥搞出来的，而且研究出变分法就是为了踩他，以洗雪“悬链线问题”的耻辱，这哥俩真是冤家)。这需要用到一个光学原理——费马原理。1662年，费马提出了“费马原理”：光线传播的路径是需时最少的路径(具体为什么也不清楚，大概光子具有意识吧，这又甩锅给了量子力学)。
光在同一介质中的传播速度恒定,且在同一介质中沿直线传播。在不同介质中传播发生折射,为保证传播的路径需时最少，折射时满足菲涅尔折射定律:入射角的正弦值与该介质中光速的比值等于折射角的正弦值与该介质中光速的比值，即：
如图，质点从A到B沿最速曲线下落：
质点下落过程中重力势能转化为动能，速度不断增大。我们知道一束光在传播路径中从光密介质进入光疏介质，速度会增大。光从光密介质进入光疏介质时，入射角小于折射角。质点从上到下的滑落就像一束光从上到下经过层层介质(介质逐渐从密到疏)的传播，由于光的传播路径用时最短,当层数变多变薄之后，光的行进曲线就是我们想要的最速曲线。
质点下落过程中重力势能转变为动能：
所以
质点的速度与已下落的高度的平方根成正比
将下落曲线比作光线，光线穿过层数无限多的介质，在每时刻的入射光线即最终曲线在该时刻的切线：
由折射定律知：
这说明下落过程中sinθ/√h是定值,则最速曲线即是保持切线和竖直线夹角正弦与下落高度平方根比值为定值的曲线。不得不说约翰·伯努利有敏锐的数学直觉，当他推出这一点后，直接认定曲线是摆线（确实是靠直觉，因为他最初的解释是错误的，他试图将哥哥雅各布·伯努利的解当作他自己的解，然而后来他的学生欧拉却将他哥哥的方法发展而成了现在的“变分法”）。
那sinθ/√h为定值与摆线有什么关系呢?
如图,圆上的定点为M，圆与水平线的切点为A；圆滚动时，M在这一瞬间的瞬时旋转中心是点A(以A为圆心划过一微小圆弧,即M摆线轨迹的一微小段,即图中紫色圆弧与摆线的交接处),所以AM垂直于摆线过点M的切线；又因为直角圆周角对应直径，可知过点M的切线与圆的交点(图中点C)与A点的连线即为圆的直径。
设圆的直径为d,直径与切线的夹角为θ ,M点到水平线的距离为h,由几何关系可以算出
所以
显然1/√d是定值。所以保持下落过程中sinθ/√h为定值的曲线是摆线，即最速曲线是摆线(具体来说是摆线的一段)。
以上便是对最速降线问题的解释，采取的是约翰·伯努利的解法。看到这，你明白了吗？
