过去的教科书里讲，据汉朝的数学书《周髀算经》的记载，早在公元前1000年的时候，周公和商高这两个人就谈到了“勾三股四弦五”。他们的年代比毕达哥拉斯早，如果再往前推，美索不达米亚人早在公元前18世纪左右就知道很多组的勾股数（包括勾三股四弦五），而且留下了实物证据。比如耶鲁大学的博物馆里就保存了一块记满勾股数的泥板。
因为光举例子还是不够的，还要总结出一个猜想，比如著名的哥德巴赫猜想。并且要证明定理。
比如说，古代人们勾三股四弦五的说法。但是这里面存在一个大问题，我们说长度是三尺，其实并非数学上准确的长度，用尺子量出来的3，可能是3.01，也可能是2.99。这样一来勾三股四弦五就是一个比较模糊的说法了。如果勾3.5，股4.5，那么弦大约是5.7，这个“大约”的误差只有万分之一点六左右（弦长大约是5.700887），古代任何测量都发现不了。这时如果你说勾3.5股4.5弦5.7，从物理上来说基本正确，但是在数学上就错了。这是第一个差别，就是测量会出错，但推理不会。
数学和自然科学不同，它不相信测量，不是建立在实证基础之上，而是建立在逻辑基础之上的。数学也不接受大部分情况正确，但是包含例外的定理。这样整个数学大厦的基础才得以稳固。
在数学上，用实验来验证一个假说是不被允许的，数学的结论只能从逻辑出发，通过归纳或者演绎得出来。它必须完全正确，没有例外，因为但凡有一个例外（也被称为反例），就要被完全否定掉。这里面最著名的例子就是哥德巴赫猜想。
今天人们利用计算机，在可以验证的范围内，都验证了这个猜想是对的，但是因为没有穷尽所有的可能，就不能说猜想被证明了。因此，我们依然不能在这个基础上，构建其它的数学定理。
例如与牛顿同时代英国的大科学家波义耳同法国科学家马略特一同发现：一个封闭容器中气体的压强和体积成反比。这很好理解，因为体积压得越小，内部的压强肯定越大。但是后来人们真的发现当压强特别大时，这个定律就不管用了。但是没有关系，在大多数条件下，这个定理依然成立，今天人们在做产品时，依然可以用。比如，证实引力波的实验，也只能保证99.9999%的可能性结论是对的。
为什么数学要那么严格，它的定理为什么不能有任何例外，更不能特殊情况特殊处理呢？因为有了一个个的定理，数学就得以建立起来，而且这个建立在逻辑推理基础上的大厦很坚固。在数学上，当一个新的定理被证明后，就会产生很多自然的推论，每一个推论可能都是一个重大的发现，甚至能带来人类认识的升级。
所以说数学的定理具有永真的特点，它一旦被证明，你就找不到反例。
毕达哥拉斯定理证明过程：
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，易得四边形ABCD为正方形。
(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2
