合同到期,公司不予以续签,本人不同意,是否可以要求继续签订合同?

我于2005年进入该公司,到现在已经有三年多,2007年的4月、2008年的元月公司因应付劳动监察部门的检查，分别与我签订了二次劳动合同,但所签合同都在公司存放，我应留存的一份，公司一直未能给予。2008年签订的合同只是一年期，到2009年的元月底就要到期，如果公司到月底合同到期，不再与我签订合同，而我本人不愿意，想要继续履行合同，请问是否可以要求公司继续与我签订合同呢？而且公司也只是在2008年才给我办理了养老、医疗保险，我是否可以要求公司补交我2005年到2008年之间未交纳的保险部分呢？