为婚出生的孩子出生证明怎么办

我和我老婆是在没有结婚的情况下生的孩子，当时医院说孩子上户口的时候他们给开出生证明的，但是现在我门办理的结婚证，去找他们要孩子的出生证明的时候他们却说要做亲子鉴定才给办理的，如果不做孩子就算是单亲家庭要随我老婆的户口和姓，我想问下他们这样做是对的吗？如果孩子随了她母亲的户口孩子可以跟随我的姓吗？