申请罪犯精神病重新鉴定费用该由谁支付

被害人系退休职工，生前给雇主照看工地，今年夏天在工地被罪犯伤害致死，后尸体被罪犯移到偏僻处，公安机关审问罪犯作案时罪犯意识清楚。案件审理过程中罪犯在河南（新乡）精神病医院鉴定为“精神分裂症，病理动机作案，无刑事责任”现无罪释放。被害人家属认为被害人死的很惨而且很冤，罪犯作案时明明是现场移尸掩盖罪行，后经审问当时罪犯思路、意识清晰，为何鉴定为病理动机作案，不承担任何责任？鉴定结果令被害者家属不服，经过多次向公安机关申请做重新鉴定，后公安机关让被害家属推荐一个精神病鉴定机构，鉴定费用由被害家属支出。我想咨询律师以下问题：国内做精神病鉴定的比较有权威的机构或医院有哪几个？公诉案件重新鉴定费用该不该由被害方支出？恳请律师答复。谢谢！