即执行死刑?

律师您好! 我想请您们帮助,我妹妹于3月28日被人以谈合同名义骗出办公室后被杀害,歹徒是去年才被提前5年放出来的重刑犯,原判他12年,但最后他逃亡6天后自首了,这种情况他能不能判立 即执行死刑?我父母非常的伤心。我妹妹单位的负责人拒不承认是因公死亡,现在也一直在逃避我们,不和被害人家属见面,只是说补偿我妹妹3个月工资就了事。 发生这种事情，单位是不是有责任，我们能不能把她单位告上法庭, 争取除了按国家规定的因公死亡赔付政策以外的更多赔偿?是不是要等到刑事判决完后才能起诉单位？谢谢!