组合恒等式的证明：C(r,r)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+…+C(n,r)=C(n+1,r+1) C(n,1)

1。C(r,r)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+…+C(n,r)=C(r+1,r+1)+C(r+1,r)+C(r+2,r)+。+C(n,r)=C(r+2,r+1)+C(r+2,r)+。。。+C(n,r)=C(r+3,r+1)+。+C(n,r)=C(n+1,r+1)2。C(n,1)+2C(n,2)+…+nC(n,n)=nC(n-1,0)+nC(n-1,1)+。+nC(n-1,n-1)=n[C(n-1,0)+C(n-1,1)+。。。C(n-1,n-1)]=n*2^(n-1)3。∵(1+x)^m*(1+x)^n=(1+x)^(m+n)∴展开式中x^r的系数,右边=C(m+n,r) 左边=C(m,r)*C(n,0)+C(m,r-1)*C(n,1)+…+C(m,0)*C(n,r)得证4。(C(n,o))^2+(C(n,1))^2+(C(n,2))^2+(C(n,3))^2+…+(C(n,n))^2=C(n,0)*C(n,n)+C(n,1)*C(n,n-1)+。+C(n,n)*C(n,0)∵(1+x)^n*(1+x)^n=(1+x)^2n∴展开式中x^n的系数,右边=C(2n,n) 左边=C(n,0)*C(n,n)+C(n,1)*C(n,n-1)+。+C(n,n)*C(n,0)得证注：,看起来有点难,特别是3,4题,但不难理解,