欧拉定理的具体内容是什么

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

定理内容　　设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr． 证明 　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心． 　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点． 　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径． 　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明） 　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得）， 　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可． 　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R^2-d^2=2Rr，即证．

V+F-E=2的证明 方法1：（利用几何画板） 　　逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 　　去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 　　1．去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 　　2．从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 　　以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和 　　设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图），求所有面内角总和Σα 　　一方面，在原图中利用各面求内角总和。 　　设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： 　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] 　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 　　另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。 　　所以，多面体各面的内角总和： 　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 　　=（V-2）·360度（2） 　　由(1)(2)得：(E-F) ·360度=（V-2）·360度 　　所以 V+F-E=2. 方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式 　　 图 尝试一下用拓扑学方法证明关于多面体的面、棱、顶点数的欧拉公式。 　　欧拉公式：对于任意多面体（即各面都是平面多边形并且没有洞的立体），假设F，E和V分别表示面，棱（或边），角（或顶）的个数，那末 　　F-E+V=2。 　　证明 如图（图是立方体，但证明是一般的，是“拓朴”的）： 　　1．把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。 　　2．去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 　　3．对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 　　4．如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 　　5．如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 　　6．这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中⑥的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 　　7．因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中⑦那样。 　　8．如果最后是像图中⑧的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 　　即F′-E′+V′=1 　　成立，于是欧拉公式： 　　F-E+V=2 　　得证。