设 x1,x2,⋯,xn为取自某总体的样本， 其算术平均值称为样本均值，一 般用表示，即
如果把样本中的数据与样本均值的差称为偏差， 则样本所有偏差之和为 0， 即
# 从总体/总体的分布中抽取样本并计算样本均值和计算偏差
## （1）从总体中抽取样本
X = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]) # 假设总体为X
x_i = np.random.choice(X, 10, replace=False) # 从总体X中抽取10个样本
x_mean = np.mean(x_i) # 计算样本均值
x_bias = np.sum(x_i-x_mean) # 计算偏差和
print("样本均值为：",x_mean)
print("偏差和为：",x_bias)
样本均值为： 12.4
偏差和为： -3.552713678800501e-15
## （2）从总体分布中抽取样本，假设总体分布为N（0，1）
x_i = np.random.randn(10) # 从总体分布N(0,1)中抽取10个样本
x_mean = np.mean(x_i) # 计算样本均值
x_bias = np.sum(x_i-x_mean) # 计算偏差和
print("样本均值为：",x_mean)
print("偏差和为：",x_bias)
样本均值为： 0.08248736142784831
偏差和为： 1.1102230246251565e-16
统计量——样本均值的分布，即样本均值的抽样分布当n越来越大时近似服从正态分布，具体来说：
设 x1,x2,⋯,xn 是来自某个总体的样本， 为样本均值。
（1）若总体分布为 N(μ,)， 则 的精确分布为 N(μ,);
（2） 若总体分布末知或不是正态分布， E(x)=μ,Var(x)=存在， 则 n 较大时 的渐近分布为 N(μ,)。 这里渐近分布是指 n 较大时的近似分布。
2.样本方差与样本标准差设 x1,x2,⋯,xnx1,x2,⋯,xn 为取自某总体的样本，则它关于样本均值 ¯xx¯ 的平均偏差平方和
称为样本方差
样本标准差就是样本方差的算术平方根，即
在实际的应用中，我们往往不会直接使用样本方差，更倾向于使用样本标准差，因为样本方差的量纲（单位）与样本均值不一致，无法与样本均值进行加减运算。
当样本量较大时，与相差不大，可以随意使用，当样本量较小时，计算样本方差最好使用无偏样本方差。 (无偏方差：)
# 从总体/总体的分布中抽取样本并计算样本方差与样本标准差
## （1）从总体中抽取样本
X = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]) # 假设总体为X
x_i = np.random.choice(X, 10, replace=False) # 从总体X中抽取10个样本
x_sn2 = np.var(x_i,ddof=0) #样本方差
x_s2 = np.var(x_i,ddof=1) # 无偏样本方差
x_sn = np.std(x_i,ddof=0) # 样本标准差
x_s = np.std(x_i,ddof=1) # 无偏样本标准差
print("样本方差sn^2为：",x_sn2)
print("样本方差s^2为：",x_s2)
print("样本标准差sn^2为：",x_sn)
print("样本标准差s^2为：",x_s)
样本方差sn^2为： 26.639999999999997 样本方差s^2为： 29.599999999999998 样本标准差sn^2为： 5.161395160225576 样本标准差s^2为： 5.440588203494177
## （2）从总体分布中抽取样本，假设总体分布为N（0，1）
x_i = np.random.randn(10) # 从总体分布N(0,1)中抽取10个样本
x_sn2 = np.var(x_i,ddof=0) #样本方差
x_s2 = np.var(x_i,ddof=1) # 无偏样本方差
x_sn = np.std(x_i,ddof=0) # 样本标准差
x_s = np.std(x_i,ddof=1) # 无偏样本标准差
print("样本方差sn^2为：",x_sn2)
print("样本方差s^2为：",x_s2)
print("样本标准差sn^2为：",x_sn)
print("样本标准差s^2为：",x_s)
样本方差sn^2为： 0.7414712184611654 样本方差s^2为： 0.8238569094012949 样本标准差sn^2为： 0.8610872304599374 样本标准差s^2为： 0.9076656374465736设总体为 XX 方差存在，
设总体为 X 方差存在， 即 E(X)=μ,Var(X)=<∞,x1,x2,⋯,xn 为 从该总体得到的样本， 和 分别是样本均值和样本方差, 则
此定理表明， 样本均值的期望与总体均值相同， 而样本均值的方差是总体方差的 1/n。
3.样本分位数与样本中位数及其抽样分布 样本中位数 ：# 从总体/总体的分布中抽取样本并计算样本样本中位数
## （1）从总体中抽取样本
X = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]) # 假设总体为X
x_i = np.random.choice(X, 10, replace=False) # 从总体X中抽取10个样本
x_mid = np.median(x_i) # 计算样本中位数
print("样本中位数为：",x_mid)
样本中位数为： 9.5
## （2）从总体分布中抽取样本，假设总体分布为N（0，1）
x_i = np.random.randn(10) # 从总体分布N(0,1)中抽取10个样本
x_mid = np.median(x_i) # 计算样本中位数
print("样本中位数为：",x_mid)
样本中位数为： 0.7193841543276442样本p分位数
(1)若np不是整数 (2) 若np是整数
先将抽样的n个样本按从小到大排序，样本p分位数就是排在第n×p位的样品值，当然有可能n×p不是整数，按上述公式处理。
# 从总体/总体的分布中抽取样本并计算样本样本中位数
## （1）从总体中抽取样本
X = np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]) # 假设总体为X
x_i = np.random.choice(X, 10, replace=False) # 从总体X中抽取10个样本
x_low = np.percentile(x_i,25) # 计算样本下四分位数
x_high = np.percentile(x_i,75) # 计算样本上四分位数
print("样本下四分位数为：",x_low)
print("样本上四分位数为：",x_high)
样本下四分位数为： 7.25 样本上四分位数为： 14.75
设总体密度函数为 p(x),xp 为其 p 分位数， p(x)在 xp 处连续且 p(xp)> 0 ， 则当 n→∞ 时样本 p 分位数 mp的渐近分布为
特别地, 对于样本中位数来说, 当 n→∞时有
