回溯算法（一）——基本原理

**算法思想：**在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根节点出发深度搜索解空
间树。当搜索到某一节点时，要先判断该节点是否包含问题的解，如果包含就从该节点出发继续深度搜
索下去，否则逐层向上回溯。一般在搜索的过程中都会添加相应的剪枝函数，避免无效解的搜索，提高
算法效率。
**解空间：**解空间就是所有解的可能取值构成的空间，一个解往往包含了得到这个解的每一步，往往就是
对应解空间树中一条从根节点到叶子节点的路径。子集树和排列树都是一种解空间，它们不是真实存在
的数据结构，也就是说并不是真的有这样一颗树，只是抽象出的解空间树。

例1：调用了多少次{1，2，3}

#include

using namespace std;

void backtracking(int arr[], int i, int length) {
   if(i == length) {
       for(int j = 0; j < length; ++j) {
           cout << arr[j] << " ";
       }
       cout << endl;
   }
   else {
       backtracking(arr, i + 1, length);
       backtracking(arr, i + 1, length);
   }
}

int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3};
    int length = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);

    backtracking(arr, 0, length);

    system("pause");
    return 0;
}

运行结果：

通过递归，调用了8次{1,2,3},每运行一次，调用两次函数。

例2：子集树

打印出{1,2,3}的所有子集

设置1为选择，0为不选择

#include

using namespace std;

//arr为原始数组 i为数组起始下标 length为遍历的层数i==length==3 添加辅助数组x[]
void backtracking(int arr[], int i, int length, int x[]) {
   if(i == length) {
       for(int j = 0; j < length; ++j) {
           if(x[j] == 1) {
              cout << arr[j] << " ";
           }

       }
       cout << endl;
   }
   else {
       x[i] = 1;//往左走，选择i节点
       backtracking(arr, i + 1, length, x);//遍历i的左孩子
       x[i] = 0;//往右走，不选择i节点
       backtracking(arr, i + 1, length, x);//遍历i的右孩子
        //    for(int k = 1; k >= 0; --k) {
        //        x[i] = k;
        //        backtracking(arr, i, length, x);
        //    }
   }
}

int main() {
    int arr[] = {1, 2, 3};
    int length = sizeof(arr)/sizeof(arr[0]);
    int x[3] = {0};
    
    backtracking(arr, 0, length, x);

    system("pause");
    return 0;
}

运行结果：

回溯法，一般可以解决如下几种问题：

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

（1）确定backtracking的参数和返回值

（2）确定回溯终止的条件

（3）确定单层回溯的过程